Theorem of three circles in Coq

Abstract

25 pages, 5 figuresInternational audienceThe theorem of three circles in real algebraic geometry guarantees the termination and correctness of an algorithm of isolating real roots of a univariate polynomial. The main idea of its proof is to consider polynomials whose roots belong to a certain area of the complex plane delimited by straight lines. After applying a transformation involving inversion this area is mapped to an area delimited by circles. We provide a formalisation of this rather geometric proof in Ssreflect, an extension of the proof assistant Coq, providing versatile algebraic tools. They allow us to formalise the proof from an algebraic point of view.Le théorème de trois cercles en géométrie algébrique réelle garantit la terminaison et la correction d'un algorithme d'isolation de racines réelles d'un polynôme univarié. L'idée générale de la preuve est de considérer des polynômes dont les racines appartiennent à des secteurs du plan complexe bornés par des droites. Après avoir appliqué une transformation du plan contenant une inversion, ces secteurs sont transformés en secteurs bornés par des cercles. Nous formalisons cette preuve plutôt géométrique en Ssreflect, qui est une extension de l'assistante de preuve Coq, mettant des outils algébriques puissants à notre disposition. Ils nous permettent de formaliser la preuve d'un point de vue algébrique