Scaling limits of k-ary growing trees

Abstract

Pour chaque entier k≥2, on introduit une suite d’arbres discrets k-aires construite récursivement en choisissant à chaque étape une arête uniformément parmi les arêtes de l’arbre pré-existant et greffant sur son « milieu » k−1 nouvelles arêtes. Lorsque k=2, cette procédure correspond à un algorithme introduit par Rémy. Pour chaque entier k≥2, nous décrivons la limite d’échelle de ces arbres lorsque le nombre d’étapes n tend vers l’infini : ils grandissent à la vitesse n1/k vers un arbre réel aléatoire k-aire qui appartient à la famille des arbres de fragmentation auto-similaires. Cette convergence a lieu en probabilité, pour la topologie de Gromov–Hausdorff–Prokhorov. Nous étudions également l’emboîtement des arbres limites quand k varie.For each integer k≥2, we introduce a sequence of k-ary discrete trees constructed recursively by choosing at each step an edge uniformly among the present edges and grafting on “its middle” k−1 new edges. When k=2, this corresponds to a well-known algorithm which was first introduced by Rémy. Our main result concerns the asymptotic behavior of these trees as the number of steps n of the algorithm becomes large: for all k, the sequence of k-ary trees grows at speed n1/k towards a k-ary random real tree that belongs to the family of self-similar fragmentation trees. This convergence is proved with respect to the Gromov–Hausdorff–Prokhorov topology. We also study embeddings of the limiting trees when k varies.nonnonouirechercheInternationa