Ganzzahlige Matrizen mit ganzzahligen Eigenwerten

Abstract

Beim Aufsuchen von Beispielen zur Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren ist man häufig an ganzzahligen Matrizen mit ganzzahligen Eigenwerten interessiert. In diesem Zusammenhang stellt sich daher die Frage nach der Häufigkeit derartiger Matrizen und nach Verfahren zu ihrer Konstruktion. Hier soll allerdings zunächst nur der einfachste Fall, nämlich der von 2X2-Matrizen untersucht werden, der bereits einen guten Einblick in die Problemstellung vermittelt. Zwei Wege bieten sich bei diesen Untersuchungen an: Einerseits kann man von ganzzahligen Eigenwerten und den zugehörigen Normalformen ausgehen und damit die Ähnlichkeitsklassen in den Vordergrund stellen. Oder man kann zweitens für ganzzahlige Matrizen Bedingungen aufstellen, die die Ganzzahligkeit der Nullstellen ihres charakteristischen Polynoms sichern. Man gelangt so zu unterschiedlichen Darstellungsformen, die jeweils bestimmten Fragestellungen besser angepaßt sind. Eine Sonderstellung nehmen die symmetrischen Matrizen ein, weil bei ihnen von vornherein die Realität der Eigenwerte gesichert ist und weil ihre Ähnlichkeitsklassen sämtlich durch Diagonalmatrizen repräsentiert werden. Nachfolgend soll daher auch zunächst dieser Spezialfall untersucht werden. Generell sollen folgende Festsetzungen gelten: Unter einer Matrix wird stets eine 2X2-Matrix verstanden. Sie heißt genau dann ganzzahlig, wenn ihre vier Elemente ganze Zahlen sind. Zur Menge N der natürlichen Zahlen soll die Null nicht gehören. Die Teilerfremdheit ganzer Zahlen a,b wird, wie üblich, durch (a,b)=l gekennzeichnet. Diese Schreibweise soll automatisch beinhalten, daß a und b nicht beide Null sind und daß im Fall a=0 stets b=±1, im Fall b=0 entsprechend a=±1 gilt