Dynamics of Rigid Bodies and Flexible Beam Structures

Abstract

Roterende bevægelse er et ofte forekommende fænomen indenfor mange ingeniørmæssige anvendelser såsom biler, roterende maskineri og vindmøllerotorer. Denne afhandling består af fire dele, der alle omhandler udvikling af effektive beregningsmetoder til modellering af den dynamiske opførsel af stive legemer og fleksible bjælkekonstruktioner med hovedvægt på den roterende bevægelse. Den første del vedrører bevægelse i en roterende referenceramme. En ny fremgangsmåde, hvor bevægelsesligningerne er formuleret i et hybridt tilstandsformat, er præsenteret. Det er vist, at betragtelige simplificeringer kan opnås, hvis de samme interpolationsfunktioner anvendes for begge tilstandsvariable, hvorved alle inertieffekter kan repræsenteres via den klassiske konstante massematrix. Det hybride tilstandsformat danner grundlaget for udviklingen af et konservativt tidsintegrationsskema samt en tilhørende algoritmisk dæmpning, der kun påvirker den lokale bevægelse.I den anden del præsenteres et konservativt integrationsskema for stiftlegemebevægelse i en global referenceramme. En fuldtud algebraisk repræsentation af den roterende bevægelse er opnået ved anvendelse af enten fire quaternion parametre eller ni konvekterede basisvektor komponenter. I begge tilfælde er bevægelsesligningerne udledt via Hamilton’s ligninger, hvori de kinematiske bindinger, der følger af den redundante rotationsbeskrivelse, er inkluderet ved brug af Lagrange multiplikatorer. En særlig egenskab ved formuleringen er, at disse kan erstattes af en projektionsoperator anvendt på gradienterne af det ydre potential og eventuelle ydre bindinger.Den tredje del præsenterer et nyt to-knude bjælkeelement, der er i stand til at undergå vilkårligt store flytninger og endelige rotationer. Elementet er udtrykt eksplicit ved brug af globale komponenter af positionsvektorer og tilhørende konvekterede basisvektorer for elementets knuder. Kinematikken er beskrevet i en homogen kvadratisk form, og den konstitutive stivhed er udledt ved brug af komplementær energi for et sæt af ligevægtsformer, der hver repræsenterer en tilstand svarende til konstant indre kraft eller moment. Denne fremgangsmåde undgår lokal interpolation af kinematiske størrelser, hvilker leder til en formulering, der både er fri for låsningsmekanismer og invariant i forhold til valg af referenceramme. I den sidste del af afhandlingen præsenteres en multi-level optimeringsprocedure for vindmøllevinger. Beregningsprocedurer svarende til dem, der er præsenteret i denne afhandling, udgør grundlaget for en foreløbig optimering ved brug af en multilegeme-baseret bjælkemodel af den fulde vindmølle. De nye aspekter, der her betragtes, vedrører automatisk generering af en 3D FE-model af en enkelt vinge til brug for detaljerede spændings og stabilitetsberegninger, der ikke kan udføres på bjælkemodellern samt anvendelse af resultaterne til opdatering af bjælkemodellen for et efterfølgende iterationsskridt. Det er demonstreret, at konvergens mellem de to modeller kan opnås ved ganske få iterationer.Rotational motion is a frequently occurring aspect in many engineering applications such as automobiles, rotating machinery or wind turbine rotors. The present thesis is organized in four parts - all concerning development of efficient computational methods for modeling the dynamic behavior of rigid bodies and flexible beam structures with emphasis on the rotational motion.The first part deals with motion in a rotating frame of reference. A novel approach where the equations of motion are formulated in a hybrid state-space in terms of local displacements and global velocities is presented. It is shown that particular simplifications are obtained when the same interpolation functions are used for both state-space variables, whereby all inertia effects can be represented via the classic constant mass matrix. The hybrid state-space constitutes the basis for developing a conservative time integration scheme and an associated algorithmic dissipation, that affects only the local motion.In the second part a conservative integration scheme for rigid body motion in a global frame of reference is presented. A fully algebraic representation of the rotational motion is obtained by using either four quaternion parameters or nine convected base vector components. In both cases, the equations of motion are obtained via Hamilton’s equations by including the kinematic constraints associated with the redundant rotation description by means of Lagrange multipliers. A special feature of the formulation is that these can be replaced by a projection operator applied to the external potential gradient and possible external constraint gradients. The third part presents a novel two-node beam element capable of undergoing arbitrary large displacements and finite rotations. The element is expressed explicitly in terms of the global components of the position vectors and associated convected base vectors for the element nodes. The kinematics is expressed in a homogeneous quadratic form and the constitutive stiffness is derived from complementary energy of a set of equilibrium modes, each representing a state of constant internal force or moment. This approach avoids local interpolation of kinematic variables, which makes the formulation inherently locking-free and frame-invariant. In the final part of the thesis a multi-level optimization procedure for wind turbine blades is presented. Computational procedures similar to the ones presented in this thesis constitute the basis for a preliminary optimization using a multibody beam model of the full wind turbine. The novel aspects considered here consist of automatic generation of a 3D FE-model of a single blade for detailed stress and buckling analysis which cannot be performed on the beam model, and utilization of the results for updating the beam model for a subsequent iteration step. It is demonstrated that convergence between the two models is obtained in very few iterations