Homeomorfismos do plano sem pontos fixos

Abstract

Dissertação de Mestrado em Matemática - Fundamentos e Aplicações apresentada à Faculdade de Ciências da Universidade do PortoNeste trabalho estudamos as aplicações livres, que são os homeomorfismos de R2 , que preservam a orientação e que não têm pontos fixos. O exemplo mais simples de uma aplicação livre é a translação T((x,y))=(x+1,y) e é imediato verificar que qualquer translação do plano, T´, é conjugada a T, isto é, existe um homeomorfismo de R2 ,C, tal que ToC=CoT´ . Assim, do ponto de vista dinâmico estas aplicações são iguais. Naturalmente coloca-se a questão de saber se qualquer aplicação livre é conjugada a uma translação. Brouwer foi o primeiro a apresentar exemplos de aplicações livres que não são conjugadas a uma translação. A Brouwer deve-se também um teorema (teorema da translação no plano) que descreve de uma forma semi-global a dinâmica de uma aplicação livre. Sem entrar em detalhes, podemos resumir parte deste resultado do seguinte modo: dada uma aplicação livre H e fixado um ponto qualquer do plano, x, existe um aberto não limitado (saturado de um domínio de translação) que é invariante por H e tal que a restrição de H a esse aberto é conjugada a uma translação. Quando esse saturado é igual a R2 é claro que a aplicação é conjugada a uma translação. Assim, a questão que se coloca é a de caracterizar as aplicações livres que não são conjugadas a uma translação. A resposta é obtida introduzindo a noção de regiões de divergência para infinito, noção essa que essencialmente traduz o modo como os iterados de um ponto divergem para infinito. De facto, uma aplicação livre é conjugada a uma translação se e só se todas as órbitas divergem para infinito do mesmo modo. Este trabalho está organizado do seguinte modo: No Capítulo 1, obtêm-se vários resultados sobre a dinâmica das aplicações livres, resultados esses que serão essenciais para a demonstração do Teorema de Translação no Plano. Em particular, mostra-se a existência de arcos de translação para aplicações livres e demonstra-se que o conjunto não errante de uma aplicação livre é igual ao conjunto vazio. No Capítulo 2, ..