Early warning signals for non-smooth bifurcations in population dynamics

Abstract

Die klassische Sattel-Knotten Verzweigung ist ein paradigmatisches Beispiel eine sogenannten Kritischen Verzweigung (critical transition). Sie wurde in einer Vielzahl von verschiedenen zusammenhängen herausgezogen, insbesondere in der Ökologie und der Klimawissenschaft um die Rolle von langsamen Ruckkehrraten (Recoveryrates) und erhöhten Autokorrelationen als Frühwarnsignale solcher Übergänge zu motivieren. In dieser Arbeit untersuchen wir den Einfluss von externen Störungen auf Sattel-Knotten Verzweigung und die entsprechenden Frühwarnsignale. Unsere Hauptbeispiele sind dabei zwei spezifische Parameterfamilien, die eine Sattelknoten- Bifurkation durchlaufen: die $\arctan$-Familie in diskreter Zeit und populationsdynamische Modelle mit Allee-Effekt in kontinuierlicher Zeit. In beiden Fällen untersuchen wir den Einfluss von quasiperiodischem Antrieb, beschränkten zufälligen Rauschen und einer Kombination aus beiden Antriebsprozessen, die wir als hybriden Antrieb bezeichnen. Wir zeigen, dass die Existenz dieser externen Faktoren zu sogenannten nicht-glatten Verzweigungen führen kann, die durch das Auftreten von seltsamen nicht-chaotischen Attraktoren (SNA) und Repellern charakterisiert sind. Dies hat einen signifikanten Einfluss auf das Verhalten der Lyapunov-Exponenten (und damit der Ruckkehrraten). Während die kritische Verlangsamung (critical slowing down) durch verschwindende Lyapunov-Exponenten am Verzweigungspunkt charakterisiert ist, bleiben die Lyapunov-Exponenten des Attraktors und des Repellers bei einer nicht-glatten Sattel-Knotten Verzweigung von Null verschieden und lassen eine sogenannte Lyapunov Lücke'' (Lyapuno gap) zwischen den beiden Exponenten. Untersuchen wir auch Lyapunov Exponenten in endliche zeit (Finite Time Lyapunov Exponenten, FTLE) und beide können als Frühwarnsignale für kritische Übergänge in unseren Modellsystemen angesehen werden